背理法証明命題の背理法でない証明

√2は無理数である。

証明）

自然数　a,b において、

aa と2bb の素因数の個数は偶数と奇数　で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。

素数は無限に存在する。

証明）

aを2以上の整数とする。aとa​+1は互いに素なので、b=a(a+1)は素因数を2個以上持つ。さらに，同様な理由からc=b(b+1)は異なる素因数を3個以上持つ。これを繰り返すといくらでも多くの異なる素因数を持つ数が生成できるので素数は無限に存在する。