三角関数を含む無限等比級数

https://www.HostMath.com/Show.aspx?IsAsc=True&Code=%5Csum_0%5E%E2%88%9E(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5E%7Bn%7D%5Ccos%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7B6%7D

この場合cosの値は、nを12で割ったあまりが同じ時、等しい。

1/2の無限等比級数の和は、1

ゆえに、あまりごとに級数を計算すると、求める級数は、nが0から11までのcosの値の和となる。

また、それらの値は全て正負で打ち消しあうため、求める級数は０。

一般化

https://www.HostMath.com/Show.aspx?IsAsc=True&Code=%5Csum_0%5E%E2%88%9EA%5E%7Bn%7D%5Ccos%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7Bk%7D%EF%BC%88A%3C1%EF%BC%89

この場合cosの値は、nを２ｋで割ったあまりが同じ時、等しい。

A(<1)の無限等比級数の和は、A/1-A

ゆえに、あまりごとに級数を計算すると、求める級数は、nが0から2k-1までのcosの値の和にA/1-Aをかけたものとなるが、その値は全て正負で打ち消しあうため、求める級数は０。

sin,tanについても同様。