２のｎ乗根

√２が無理数であることを証明せよ。

の一般系、

２のｎ乗根が無理数であることを証明せよ。

ただし、nは２以上。

互いに素な２のｎ乗根ｐ、ｑについて、

p^n=q^n × 2

ｐｑが上式を満たすとき、ｐは２の倍数で、ｑは２の倍数でない。

左辺の２の因数の個数はn個で、２以上。

上式の２の素因数の個数が一致するようなｐｑの組み合わせは存在しない。

証明終